数量-几何边端问题的解法

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　　几何边端问题的解法

泸州华图　　赵惟琦

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　　几何边端问题作为公务员考试中的一类常规题型，建立在几何问题的模型之上，这就需要考生具备一定平面几何的思维和想象力，才能快速而有效答题。几何边端问题包括二个方面：植树问题以及方阵问题!这二类问题虽不像行程问题、工程问题等是一大类问题，但是其题型简单，复习较为容易，易于得分，故应该引起广大考生的重视。而对于植树问题以及方阵问题，一般都是利用“公式法”解题，所以考生需要记住它们的公式，这样才可以在短时间内对问题作出解答。

　　几何边端问题分为：植树问题以及方阵问题，故下面分别给出植树问题和方阵问题的核心公式。

　　植树问题核心公式：

　　1. 单边线型植树公式：棵数=总长÷间隔+1;总长=(棵数-1)×间隔

　　2. 单边环型植树公式：棵数=总长÷间隔; 总长= 棵数×间隔

　　3. 单边楼间植树公式：棵数=总长÷间隔-1;总长=(棵数+1)×间隔

　　4. 双边线型植树公式：相应单边植树问题所需棵数×2

　　在考场上，还会遇到一些类似植树问题的题型，这就要求考生能把握好“段”与“端点”之间“相差1”的关系!

　　方阵问题核心公式：

　　1. N排N列的实心方阵人数为N2人;

　　2. N排N列的实心方阵，最外层人数为4N-4人;

　　3. 在方阵中，相邻二圈人数，外圈比内圈多8人;

　　4. 方阵中：方阵的人数=(最外层人数÷4+1)2.

　　方阵问题在考试中注意二个思维方法：

　　1. 重叠点的计算：在边与边重叠情况下，把各边点数相加时重叠点计算了二次，则需减去重叠点个数，才是最终的全部数目;

　　2. 逆向法思维：如需要计算空心方阵时，用整体数目减去内部的数目是一种常见的思维方法。

　　【例1】 某单位购买一批树苗计划在一段路两旁植树。若每隔5米种1棵树，可以覆盖整个路段，但这批树苗剩20棵。若每隔4米种1棵树且路尾最后两棵树之间的距离为3米，则这批树苗刚好可覆盖整个路段。这段路长为( )。

　　A. 195米 B. 205米

　　C. 375米 D. 395米

　　【解析】双边植树问题：并且是线型植树问题 先计算出单边植树的个数，在此基础上乘以2，就可以计算出双边植树的个数。设路长为x得：解此方程的，故答案选择A!此题为典型的双边植树问题，重点还是应用植树问题的公式，在理解公式的基础上列方程然后解方程即可.

　　【例2】 一果农想将一块平整的正方形土地分割为四块小土地，并将果树均匀整齐地种植在土地的所有边界上，且在每块土地的四个角上都种上一棵果树，该果农未经细算就购买了60颗果树，如果仍按上述想法种植，那他至少多买了多少棵果树?

　　A. 0 B. 3

　　C. 6 D. 15

　　【解析】植树问题：本题是求至少多买了多少棵果树，根据题意知道，将正方形土地分割为四块小土地，相当于将这块土地分成了12段，设每一段上种的果树为x，总共有9个端点，则共要植树12x+9=60,由于种的果树的颗数必须为整数，则x=4，最后会多出来3棵果树。故选择B。在此题中，要特别注意植树问题中的端点问题!

　　【例3】 小陈家住在 5 楼，他每天上下楼各一次，共需走 120 级楼梯。后来小陈家搬到同一栋楼的 8 楼，如果每层楼的楼梯级数相同，则他搬家后每天上下楼一次共需走楼梯( )级。

　　A. 168 B. 192

　　C. 210 D. 240

　　【解析】由题意可知：小陈家住5楼，则他只要爬4层，有上下各一次共走120级，易得只上的话走60级，故每层楼为60÷4=15级;后来小陈搬到同一栋楼的 8 楼，则他需要爬7层楼，故每天上下一次共需走楼梯：2×7×15=210级，故选择C!此题为上楼梯的问题，可以看成为植树问题的延伸和应用，要特别注意把握好“段”与“端点”之间“相差1”的关系。

　　【例4】某学校的全体学生刚好排成一个方阵，最外层人数是108人，则这个学校共有多少名学生?( )

　　A.724人 B.744人

　　C.764人 D.784人

　　【解析】易知此题为方阵问题。由题意知方阵最外层的人数，求的为方阵共有多少人?

　　故代人方阵最外层人数公式，设最外层人数每列为N，得：，解方程得：N=28，从而这个学校共有的学生为：282=784，故选择D!此题为简单的方程问题，代人公式即可。

　　【例5】用红、黄两色鲜花组成的实心方阵(所有花盆大小完全相同)，最外层是红花，从外往内每层按红花、黄花相间摆放。如果最外层一圈的正方形有红花44盆，那么完成造型共需黄花( )。?

　　A. 48盆 B. 60盆

　　C. 72盆 D. 84盆

　　【解析】方阵问题：已知是最外层的红花的盆数，红黄相间摆放，求的是黄花共要多少盆?故很容易套用每层相差的数目为8，则最外层2圈的花数为44-8=36，最外层3圈为：36-8=28，…，以此类推为：44、36、28、20、12、4.即共有6层，最外层为红花，由红、黄花相间摆放知，完成造型共需要黄花数为：36+20+4=60.故选择B!此题考察的核心为方阵的每层相差为8的公式!